Фамилия образована в результате придания престижности уже сформировавшейся «простонародной», по мнению её носителя, фамилии АСНОВ, при этом модный фамильный элемент -ский добавлен к фамилии, уже оформленной фамильным суффиксом -ов. Фамилия АСНОВСКИЙ восходит к церковнославянскому имени Асна (см. АСНОВ), что наглядно просматривается на этимологических цепочках её образования: 

АСНОВСКИЙ < АСНОВ < Асна;

АСНОВСКИЙ < АСНОВ < Асн(о) < Асна.

Ударение в фамилии не регламентируется правилами русского языка, однако в фамилиях на -ский, как правило,  ударению не подвергается конечный слог. В любом случае ударение в фамилии лучше уточнить у её носителя.

Женская форма фамилии – АСНОВСКАЯ.

АСНОВСКИЙ Фёдор Алексеевич.                                                      

Участник Великой Отечественной войны. 

Читать по теме:

- См. Библия. Ездр. 2.50.   

- См. Библиография. 9. Стр. 32.

- См. Происхождение фамилий. 2.6., 2.6.2., 3.2., 4., 4.1., 4.1.4.