Фамилия образована в результате придания престижности уже сформировавшейся «простонародной», по мнению её носителя, фамилии БЕРИН, при этом модный фамильный элемент -ской добавлен к фамилии, уже оформленной фамильным суффиксом -ин. Фамилия БЕРИНСКОЙ может восходить к церковнославянским именам   Бера, Бери и Берия (см. БЕРИН), что наглядно просматривается на этимологических цепочках её образования:

БЕРИНСКОЙ < БЕРИН < Бера;

БЕРИНСКОЙ < БЕРИН < Бери;

БЕРИНСКОЙ < БЕРИН < Бера < Берия.

В старину окончание прилагательных в именительном падеже единственного числа мужского рода с основой на твёрдый согласный произносили и писали -ой как под ударением, так и без ударения. Но со временем это окончание сохранилось только под ударением, в безударном же состоянии его вытеснили окончания -ый, -ий. Однако в современном русском языке наряду с фамилиями на -ский часто встречаются фамилии на -ской. 

Ударение в таких фамилиях обычно совпадает с правилом русского языка для прилагательных: -ой – всегда ударный, -ый – безударный. И всё же ударение лучше уточнить у носителя фамилии. 

Женская форма фамилии – БЕРИНСКАЯ.

БЕРИНСКОЙ Василий Фед.                        

Участник Великой Отечественной войны. 

Читать по теме:

- См. Библия. Быт. 14:2.

- См. Библия. 1 Пар. 7.36.   

- См. Библиография. 9. Стр. 44 .

- См. Происхождение фамилий. 2.6., 2.6.2., 3.2., 4., 4.1., 4.1.11.