Фамилия по происхождению является застывшей формой притяжательного прилагательного родительного падежа множественного числа и образована от имени Гай, к которому добавлен суффикс -евых. При формировании фамилии конечный -й имени не исчезает, он сливается в одно с -е- добавленного суффикса. При произношении таких фамилий -й- чётко произносится, но на письме отсутствует.

Фамилия могла быть образована также в результате повторной стандартизации фамилии  ГАЕВ, при которой суффикс -ых добавлен к фамилии, уже оформленной фамильным суффиксом -ев.

Фамилия ГАЕВЫХ восходит к церковнославянскому имени Гай (см. ГАЕВ), что наглядно просматривается на этимологических цепочках её образования: 

ГАЕВЫХ < Гай;

ГАЕВЫХ < ГАЕВ < Гай.

Фамилии с конечным элементом -их/-ых первоначально появились в северорусских районах, а затем были занесены  переселенцами на Урал и в Сибирь, где они прочно закрепились. Причём настолько прочно, что фамилии в данных регионах могли претерпевать повторную стандартизацию, где стремились привести к единому типу фамилий на -их/-ых фамилии с другими конечными элементами.

В фамилиях на -овых/-евых, ударение никогда не падает на конечный слог, тогда как в фамилиях на -иных оно зачастую на конечном слоге.  И всё же, ударение в фамилии лучше уточнить у её носителя.

Женская форма фамилии – ГАЕВЫХ. 

ГАЕВЫХ Андрей Григорьевич.

Участник Великой Отечественной войны.

Читать по теме:   

- См. Библиография. 2. Стр. 82.

- См. Библиография. 3. Стр. 70.

- См. Библиография. 4. Стр. 85.

- См. Библиография. 6. Часть 3, стр. 215.

- См. Происхождение фамилий. 2.6., 2.6.3., 2.6.3.1., 3.1.